在参加阿里面试的时候遇到的一道题

假设主持人在三个小碗下分别放了1块钱、1块钱和10000块钱的筹码。你选中哪一个，你就可以领到对应的钱。当你选定一个碗之后，主持人翻开剩下两个碗里，下面有一块钱筹码的碗给你看。并且，给你一次机会选另外一只碗。请问：应不应该换？为什么？

虽然当时说对了应该换，但是中间始终有些不清不楚的地方，所以特梳理如下。

直观版本解答

一般来说，最容易被绕进去的思路是这样的。
在没有打开的时候，我随机选一个，概率都是$\frac{1}{3}$
如果主持人帮我排除了一个选项，那么这个时候就只有两只碗了，这个时候随机选，概率就都是$\frac{1}{2}$，那么我换或者不换都是一样的概率。

但是实际上，最后剩下的两只碗对应的概率是不同的。
最直观的解释就是，其实那只被主持人打开的碗你也是可以选择的，只不过已经知道它没有奖金罢了。
然而这个真实存在的选项却被我们脑补自行忽略了。也就是说我们开始从片面考虑问题了。
所以实际上，就算翻开了一个碗，选碗的问题仍然是三选一。

现在面临的真正问题是坚持自己的初次选择：1/3概率；还是换选另两个碗（包括那个打开的空碗）：共2/3概率。

换一种更清晰的说法——
这游戏相当于你和主持人博弈，你只能选一个碗，主持人就选剩下的两个碗。显然主持人的胜率是2/3。这个胜率和主持人是否打开一只碗没有关系，和主持人是否知道碗里有没有奖也没有关系，都是你自己先选的！

图解

如果还是有点绕，我们也可以将这个事件细分成几个小事件，来看看。
下图来自蒙提霍尔问题-维基百科

概率论角度解答

对于概率问题来说，只要能把问题的概率空间构造出来，那么理论上所有相关的概率问题都可以解决掉。三门问题里涉及4个概率空间，然后要用概率转移函数的办法才能把这4个空间构造成一个整体的概率空间。如果把三门问题写清楚，其实概率转移函数也就学的差不多了。

四个概率空间如下：
第一个$(\Omega_1, 2^{\Omega_1}, P_1)$, $\Omega_1 = {\omega_1, \omega_2, \omega_3}$，其中$\omega_i$代表车在第$i$个门里。$$P_1(\omega_i) = \frac{1}{3}$$
第二个$(\Omega_2, 2^{\Omega_2}, P_2)$, $\Omega_2 = {x_2, x_2, x_3}$，其中$x_i$代表人选了第$i$个门。$$P_2(x_i) = \frac{1}{3}$$
第三个$(\Omega_3, 2^{\Omega_3})$, $\Omega_3 = {y_1, y_2, y_3}$，其中$y_i$代表主持人去掉第$i$个门。
第四个$(\Omega_4, 2^{\Omega_4})$, $\Omega_4 = {z_1, z_2, z_3}$，其中$z_i$代表主持人去掉某个门后，车在第$i$个门。

两个概率转移函数如下
根据游戏规则，为若车在$i$ && 人选了$j$ && 主持人去掉$k$ 的概率
$$概率转移函数 \kappa_1=((\omega_i, x_j), y_k)$$
第二个转移函数
$$\kappa_2=((\omega_i, x_j, y_k),z_l)=\delta_{il}$$
就是如果i和l相等就取1否则取0。
然后用概率转移函数的办法建立乘积空间，这个乘积空间就是我们要的三门问题的概率空间。
三门问题中不换门而选中的概率是个条件概率,已知选了i门，主持人去掉j门的情况下车在i门的概率用Lebesgue积分计算如下：
$$P_1 \bigotimes P_2 \bigotimes \kappa_1 \bigotimes \kappa_2(\Omega_1 \times x_1 \times y_2 \times z_1) = \int_{\Omega_1} P_1 ({\rm d}\omega_1) \int_{x_1} P_2 ({\rm d}x_2) \int_{y_2} \kappa_1 \int_{z_1} \kappa_2 = \frac{1}{18}$$

$$P_1 \bigotimes P_2 \bigotimes \kappa_1 \bigotimes \kappa_2(\Omega_1 \times x_1 \times y_2 \times \Omega_4) = \int_{\Omega_1} P_1 ({\rm d}\omega_1) \int_{x_1} P_2 ({\rm d}x_2) \int_{y_2} \kappa_1 \int_{\Omega_4} \kappa_2 = \frac{1}{6}$$

所以最后的概率是1/3

所以说，现在给你一个机会，用你手里的一只碗交换主持人手里的两只碗，你换不换？

参考链接：

「一键投喂软糖/蛋糕/布丁/牛奶/冰阔乐！」

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最后编辑时间为: Jan 26, 2018 at 06:12 pm

蒙提霍尔问题（又称三门问题）详解

直观版本解答

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概率论角度解答